Zadanie nr 3080088
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze
. Jaką objętość ma ten ostrosłup?
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Z trójkąta prostokątnego wyliczamy długość
krawędzi podstawy otrosłupa.
![CF--= cos α CD a 2-= cosα ⇒ a = 2b cosα . b](https://img.zadania.info/zad/3080088/HzadR3x.gif)
Wysokość ostrosłupa wyliczamy z trójkąta prostokątnego . Aby to zrobić zauważmy, że
to
długości wysokości trójkąta równobocznego
, czyli
![√ -- √ -- √ -- EB = 2-⋅ a-3-= a--3-= 2--3b-cosα-. 3 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/3080088/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![∘ ---------------- ∘ ---2------2- 2 12b-2cos2-α 1- ∘ ----------2-- ED = BD − EB = b − 9 = 3 b 9 − 12 cos α .](https://img.zadania.info/zad/3080088/HzadR9x.gif)
Liczymy teraz objętość (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego)
![2√ -- 2√ -- 2 ∘ ------------- V = 1-⋅ a---3⋅ ED = b----3cos--α ⋅ 1b 9− 12co s2α = 3 √ --4 3 3 b3 3 cos2 α∘ ------------- = ------------ 9 − 12 cos2 α. 9](https://img.zadania.info/zad/3080088/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: