Zestaw użytkownika nr 5012_3478

Próba przed maturą 2011poziom rozszerzonyCzas pracy: 180 min.

Zadanie 1
(4 pkt)

Liczby 1 3 √ -- 2 + lo g4x , log44x , log 4 x w podanej kolejności, dla pewnej rzeczywistej wartości x , są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego. Wyznacz x oraz sumę czterdziestu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 2
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie ||x− 4|− x | = m ma tylko jedno rozwiązanie.

Zadanie 3
(5 pkt)

W trapez ABCD , gdzie AB ∥ CD i |AB | > |CD | , wpisano okrąg (patrz rysunek).

PIC

Dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku A jest prostopadła do ramienia |BC | .

  • Wykaż, że dwusieczna kąta przy wierzchołku D jest równoległa do ramienia BC .
  • Oblicz |BC | : |DC | .
Zadanie 4
(4 pkt)

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości r,r > 0 , a promień każdego następnego półokręgu stanowi 23 promienia poprzedniego. Niech n oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n długość krzywej jest mniejsza od 3πr .

PIC

Zadanie 5
(6 pkt)

Punkty przecięcia paraboli 2 y = x − 2x − 8 z prostą k : 2x + y − 1 = 0 są końcami przekątnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu.

Zadanie 6
(5 pkt)

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- 4 3 (patrz rysunek). Przekątna BD czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy 136 . Wiedząc, że |∡A | < |∡C | < |∡D | , oblicz miary kątów czworokąta ABCD .

PIC

Zadanie 7
(5 pkt)

W wyniku podzielenia wielomianu W (x) przez (x + 2) otrzymujemy iloraz Q (x) i resztę 0. Jeśli natomiast podzielimy wielomian W (x) przez (x + 1) , to otrzymamy iloraz Q (x)+ 2x − 3 i resztę 2.

  • Wyznacz wielomian W (x) .
  • Rozwiąż nierówność W (x) ≤ − (x + 1 )(x + 2) .
Zadanie 8
(5 pkt)

Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7 } losujemy kolejno, bez zwracania trzy cyfry i tworzymy liczbę trzycyfrową: pierwsza wylosowana cyfra jest cyfrą setek, druga – cyfrą dziesiątek, a trzecia – cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana liczba ma następującą własność: różnica między największą i najmniejszą cyfrą tej liczby jest nie większa niż 3.

Zadanie 9
(6 pkt)

Dane jest równanie kwadratowe 2 (m − 1)x + 2x + 3 − m = 0 z niewiadomą x i parametrem m .

  • Znajdź wzór i dziedzinę funkcji f , która zmiennej rzeczywistej m przyporządkowuje iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania. Naszkicuj wykres funkcji f w prostokątnym układzie współrzędnych.
  • Wykaż, że do wykresu funkcji f należą tylko trzy punkty o obu współrzędnych całkowitych.
Zadanie 10
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD (patrz rysunek).

PIC

Krawędź AS jest wysokością tego ostrosłupa. Odległość punktu B od krawędzi CS jest równa d , a kąt dwuścienny między ścianami BCS i CDS ma miarę 2 α , gdzie α ∈ ( π, π-) 4 2 . Oblicz:

  • odległość punktu A od krawędzi CS
  • wysokość tego ostrosłupa.
Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania Edytuj w kreatorze