Zadanie nr 5639561
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość
. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem
. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym, więc do obliczenia jego pola potrzebujemy obliczyć długości podstaw i wysokość. Jedną podstawę znamy
, a wysokość łatwo obliczyć z trójkąta
. Piszemy twierdzenie sinusów w tym trójkącie.
![NL NK ------ = --------∘---------- sin2α sin(18 0 − α− 2α) NL = asin2α-. sin 3α](https://img.zadania.info/zad/5639561/HzadR4x.gif)
Pozostało zająć się drugą podstawą trapezu. Spróbujemy ją obliczyć z trójkąta , ale najpierw obliczmy długości odcinków
i
. Odcinek
obliczamy z trójkąta prostokątnego
.
![MK-- ---a---- SK = co s2α ⇒ SK = 2co s2α .](https://img.zadania.info/zad/5639561/HzadR10x.gif)
Odcinek obliczamy ponownie stosując twierdzenie sinusów w trójkącie
.
![-NK--- LK--- a-sin-α- sin 3α = sin α ⇒ LK = sin 3α.](https://img.zadania.info/zad/5639561/HzadR13x.gif)
Teraz obliczamy długość drugiej podstawy – korzystamy z podobieństwa trójkątów i
.
![EF SL SK − LK LK ----= --- = ---------= 1− ---- BC SK( SK ) SK -asisinn3αα-- 2a-sinα-cos-2α EF = a 1− --a--- = a − sin 3α . 2cos2α](https://img.zadania.info/zad/5639561/HzadR16x.gif)
Pozostało obliczyć pole przekroju.
![2a-sinαcos2α- P = AD--+-EF--⋅NL = a+--a−-----sin3α----⋅ a-sin-2α-= AEFD 2 2 sin3α 2 sin 3α− sin α cos2 α sin 2α 2 sin2α (sin 3α − sin αcos 2α) = a ⋅--------------------⋅ ------= a ⋅-------------2-------------. sin3 α sin 3α sin 3 α](https://img.zadania.info/zad/5639561/HzadR17x.gif)
Odpowiedź: