Zadanie nr 9746952
Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba ?
Rozwiązanie
Musimy ustalić dla jakiego ,
![k− 1 31 k 10 < 2 < 10](https://img.zadania.info/zad/9746952/HzadR1x.gif)
Sposób I
Zadanie jest łatwe do rozwiązania jeżeli mamy kalkulator lub tablice logarytmów. Ponieważ , więc
![31 log 2 = 31log 2 ≈ 9,3,](https://img.zadania.info/zad/9746952/HzadR3x.gif)
czyli
![9 31 10 1 0 < 2 < 10 .](https://img.zadania.info/zad/9746952/HzadR4x.gif)
Sposób II
Jeżeli nie chcemy używać logarytmów, to możemy postąpić następująco
![210 = 1024 > 1 03 ⇒ 231 = 2 ⋅230 > 2⋅ 109.](https://img.zadania.info/zad/9746952/HzadR5x.gif)
Zatem ma co najmniej 10 cyfr. Aby zobaczyć, że nie ma więcej, szacujemy:
![( ) ( ) 231 = 213 2 ⋅25 = (8192 )2 ⋅23 ⋅22 < 104 2 ⋅10⋅ 4 < 1010.](https://img.zadania.info/zad/9746952/HzadR7x.gif)
Przy okazji, z tych oszacowań widać, że pierwsza cyfra to 2 lub 3 (tak naprawdę to jest 2).
Odpowiedź: 10 cyfr