Zadanie nr 9875892
Kąty ostre trapezu opisanego na okręgu mają miary i
, a pole tego trapezu jest równe
. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Z trójkątów prostokątnych i
mamy
![-h-- = sin α ⇒ AD = --h-- AD sin α -h-- --h-- BC = sin β ⇒ BC = sinβ .](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR3x.gif)
Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc sumy przeciwległych boków są równe, stąd
![( 1 1 ) h (sin α + sinβ ) AB + CD = AD + BC = h -----+ ----- = ----------------. sin α sin β sin αsin β](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR4x.gif)
Stąd pole jest równe
![∘ -------------- AB + CD h2(sinα + sin β) 2P sin αsin β P = ----------⋅h = ----------------- ⇒ h = -------------. 2 2 sinα sinβ sin α + sin β](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR5x.gif)
Promień okręgu wpisanego to połowa tej wielkości
![∘ -------------- ∘ ---------------- 1 2P sinα sinβ P sin αsin β r = -- ------------- = ---------------- 2 sin α+ sin β 2(sin α + sin β)](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR6x.gif)
Sposób II
Tym razem dorysujmy dwusieczne kątów trapezu – przetną się one w środku okręgu wpisanego. Ponieważ oraz
mamy
![AG-- α- α- r = ctg 2 ⇒ AG = rctg 2 GB β β ----= ctg -- ⇒ GB = r ctg-- r 2( ) 2 DH-- = ctg 90∘ − α- = tg α- ⇒ DH = rtg α- r ( 2) 2 2 HC ∘ β β β -r--= ctg 90 − -2 = tg 2- ⇒ HC = rtg 2-.](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR9x.gif)
Zatem ze wzoru na pole mamy
![AG + GB + DH + HC ( α β α β ) P = -----------------------⋅ 2r = r2 ctg -+ ctg-- + tg--+ tg-- ∘ ---------2----------------- 2 2 2 2 P r = -----------β------------β- ctg α2 + ctg 2-+ tg α2 + tg2-](https://img.zadania.info/zad/9875892/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: