/Szkoła średnia

Zadanie nr 1482488

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC , w którym ∘ |∡ACB | = 90 oraz |AC | = 5,|BC | = 12 zbudowano kwadrat ACDE .

PIC

Punkt H leży na prostej AB i kąt |∡EHA | = 90∘ . Oblicz pole trójkąta HAE .

Rozwiązanie

Najważniejsze w tym zadaniu to zauważyć, że trójkąty prostokątne EAH i ABC są podobne.

PIC

Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy ∡B = α to ∡BAC = 90∘ − α oraz

∡HAE = 180∘ − ∡EAC − ∡CAB = 1 80∘ − 90∘ − (90∘ − α) = α .

Łatwo też obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów. Z twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ---2------2- √ --------- AB = AC + BC = 25 + 1 44 = 13.

Zatem skala podobieństw jest równa AE- -5 k = AB = 13 . Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, szukane pole trójkąta jest równe

P = k2 ⋅P = -25- ⋅ 1AC ⋅BC = 2-5-⋅30 = 750. HAE ABC 1 69 2 169 169

 
Odpowiedź: 750 169

Wersja PDF