Zadanie nr 9365081
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału
.
Rozwiązanie
Aby równanie miało dwa pierwiastki musi być kwadratowe () oraz musi być
.
![2 2 0 < Δ = 4−--4(k − 1) = 4(2 − k ) 0 > (k − √ 2)(k + √ 2) √ --√ -- k ∈ (− 2, 2).](https://img.zadania.info/zad/9365081/HzadR2x.gif)
Ponieważ wykresem funkcji jest parabola, to podany warunek jest równoważny temu, że wierzchołek paraboli jest zawarty w podanym przedziale oraz wartości funkcji na końcach przedziału są dodatnie dla
i ujemne dla
.
Najpierw sprawdzamy wierzchołek
![0 < xw ∧ xw < 2 1 1 0 < ------ ∧ ------− 2 < 0 k+ 1 k+ 1 1−--2k-−-2- − 1 < k ∧ k + 1 < 0 − 2k− 1 − 1 < k ∧ ---------< 0 k + 1 2k-+-1- − 1 < k ∧ k + 1 > 0 ( 1 ) − 1 < k ∧ k ∈ (− ∞ ,−1 )∪ − -,+ ∞ ( ) 2 1 k ∈ − -,+ ∞ 2](https://img.zadania.info/zad/9365081/HzadR6x.gif)
Skoro już wiemy, że pozostało sprawdzić kiedy
i
.
![0 < f (0) = k − 1 ⇒ 1 < k 1 0 < f (2) = 4(k + 1) − 4 + k− 1 = 5k − 1 ⇒ --< k. 5](https://img.zadania.info/zad/9365081/HzadR10x.gif)
Łącząc wszystkie otrzymane warunki mamy
![k ∈ (1,√ 2).](https://img.zadania.info/zad/9365081/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: