/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wymierne

Zadanie nr 1409260

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność

a2 + 16-≥ 12. a
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że a > 0 , więc daną nierówność możemy przekształcić do postaci

a2 + 16-≥ 12 / ⋅a a a3 − 12a + 1 6 ≥ 0.

Aby rozłożyć wielomian z lewej strony nierówności szukamy jego pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego:

1,− 1,2,− 2,4,− 4,8,− 8,16,− 16 .

Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest a = 2 . Dzielimy teraz ten wielomian przez (a− 2) .

3 3 2 2 a − 12a + 16 = a − 2a + 2a − 4a − 8a + 16 = = a2(a− 2)+ 2a(a− 2)− 8(a− 2) = (a2 + 2a− 8)(a− 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie

Δ = 4 + 32 = 36 − 2 − 6 − 2 + 6 a = ------- = − 4 lub a = ------- = 2. 2 2

Otrzymujemy więc nierówność

(a − 2)2(a − 4) ≥ 0,

która jest spełniona dla każdej liczby dodatniej a . To oznacza, że wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Sposób II

Na mocy nierówności

a + b + c √ ---- --------- ≥ 3 abc 3

między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich mamy

∘ --------- 2 16- a-2 +-8a +-8a 3 2 8- 8- a + a = 3 ⋅ 3 ≥ 3 a ⋅ a ⋅ a = 3 ⋅4 = 12 .
Wersja PDF