/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik wyższego stopnia

Zadanie nr 1535791

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --dx--- (x2+ 1)3 .

Rozwiązanie

Skorzystamy z zależności rekurencyjnej

1 x 2n− 1 ∫ dx In+1 = ---⋅--2-----n-+ -------⋅In, gdzie In = --2-----n. 2n (x + 1) 2n (x + 1)

Mamy zatem

∫ ---dx----- ----x----- 1- ----x----- 1- (x2 + 1)2 = I2 = 2(x2 + 1) + 2 I1 = 2(x2 + 1) + 2 arctgx + C,

oraz

∫ dx x 3 ----------= I3 = -----------+ --I2 = (x 2 + 1)3 4(x2 + 1)2 4 x 3x 3 = 4(x2-+-1)2-+ 8-(x2 +-1) + 8-arctg x + C .

 
Odpowiedź: x 3x 3 4(x2+1)2 + 8(x2+1)-+ 8 arctg x + C

Wersja PDF