Zestaw użytkownika nr 2009_5133

XII Polygon MatematycznyOptymalizacja - geometria analitycznaStyczeń 2020

Zadanie 1

Dana jest parabola opisana równaniem 2 y = (x − 3) + 1 . Tworzymy trójkąty ABC takie, że punkt leży w początku układu współrzędnych, punkt o współrzędnych (xb ,yb ) leży na paraboli, punkt ma współrzędne (xb,0) .

Napisz wzór funkcji , określającej pole trójkąta w zależności od dla .
Znajdź trójkąt o największym polu dla ; w odpowiedzi podaj współrzędne punktu .

Zadanie 2

Który z odcinków łączących dowolny punkt paraboli o równaniu 2 y = x z punktem A = (10;2) ma najmniejszy kwadrat długości?

Zadanie 3

Parabola o równaniu 1 2 y = 2 − 2 x przecina oś układu współrzędnych w punktach A = (− 2,0 ) i B = (2,0) . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD , których dłuższą podstawą jest odcinek , a końce i krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka . Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zadanie 4

Dwa wierzchołki prostokąta leżą na osi , a pozostałe dwa należą do paraboli o równaniu f(x) = 4− x 2 i znajdują się powyżej osi .

Podaj wzór funkcji opisującej pole tego prostokąta w zależności od jego podstawy.
Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest równe 6.
Dla jakiej długości podstawy pole tego prostokąta jest największe?

Zadanie 5

Wyznacz wartość parametru , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki i równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.

Zadanie 6

Rozpatrujemy prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki leżą na osi , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem y = 94x2 + 1 , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji √ -- f(x ) = x określonej dla x ≥ 0 . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

Zadanie 7

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = −2x − 22 jest najmniejsza.

Arkusz Wersja PDF