Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą... Zadania.info: rozwiązanie zadania, W geometrii, 2139227

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/W geometrii

Zadanie nr 2139227

Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba 1 tworzą ze sobą ciąg geometryczny. Oblicz sinus najmniejszego kąta tego trójkąta.

Rozwiązanie

Jeżeli $α < β$ są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, to $∘ α + β = 90$ .

Zatem

sin β = sin(9 0∘ − α ) = cos α.

Wiemy więc, że liczby o których mowa, to $sin α,cos α,1$ . Musimy jeszcze ustalić w jakiej kolejności tworzą one ciąg geometryczny. Na pewno jedynka to największy z wyrazów (bo $sinx < 1$ dla kąta ostrego $x$ ). Ponadto sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych, więc z naszego założenia $α < β$ mamy

sin α < sin β = cos α.

Zatem ciąg geometryczny, o którym mowa w treści zadania, to $(sin α,cos α,1)$ . W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc mamy równanie