Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3234231

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku S1 i promieniu x oraz drugi o środku S2 i promieniu 2x , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku S i promieniu 18;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a ,b,c można obliczyć ze wzoru Herona

 ∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Z rysunku powinno być jasne, że SS 1 = 18 − x , SS 2 = 18 − 2x i S 1S2 = 3x . Stąd

 p = 18-−-x-+-18-−-2x-+-3x- = 18 --------2----------------------------------- ∘ P(x ) = 18(18 − (18 − x ))(18− (18− 2x))(18 − 3x ) = ∘ -------------- √ -------- = 36x 2(18− 3x) = 6x 18− 3x.

Dziedziną tej funkcji jest przedział (0,6) (łatwo sprawdzić, że dla x = 6 punkty S ,S ,S 1 2 leżą na jednej prostej).

Liczymy teraz pochodną funkcji

 1 f(x) = ---P 2(x) = x2(6 − x) = 6x2 − x3 108 f′(x) = 12x − 3x2 = − 3x(x − 4).

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia na przedziale (0 ,4) i ujemna na przedziale (4 ,6) . To oznacza, że funkcja f (a więc też funkcja P ) rośnie na przedziale (0 ,4⟩ i maleje ⟨4,6) . W takim razie największe pole otrzymamy dla x = 4 . Jest ono wtedy równe

 √ -------- √ -------- √ -- P (4) = 6x 18 − 3x = 24 18 − 1 2 = 24 6.

Boki trójkąta mają wtedy długości 14,10 ,1 2 .

 
Odpowiedź:  √ -------- P (x) = 6x 18− 3x dla x ∈ (0 ,6) ,  √ -- Pmax = P(4) = 2 4 6 , boki: 10, 12, 14.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!