/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Różne

Zadanie nr 3798178

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC , AC i AB tego trójkąta w punktach – odpowiednio – K , L oraz M . Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLP K oraz BKP M można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

W czworokącie wpisanym w okrąg suma miar przeciwległych kątów jest równa 18 0∘ , więc

∡AP B = ∡LP K = ∡1 80∘ − ∡LCK = 180 ∘ − γ .

Patrzymy teraz na trójkąt ABP .

18 0∘ = ∡BAP + ∡ABP + ∡AP B α β 18 0∘ = --+ --+ (180∘ − γ ) 2 2 ∘ γ = α-+-β-= 18-0-−-γ- = 90 ∘ − γ- 2 2 2 3 ∘ 2 ∘ ∘ -γ = 90 ⇒ γ = --⋅90 = 60 . 2 3

Analogicznie, ponieważ czworokąt BKP M jest wpisany w okrąg, mamy

∡AP C = ∡MP K = ∡ 180∘ − ∡MBK = 180 ∘ − β .

Stąd

18 0∘ = ∡CAP + ∡ACP + ∡AP C 18 0∘ = α-+ γ-+ (180 ∘ − β ) 2 2 α-+-γ- 1-80∘ −-β ∘ β- β = 2 = 2 = 9 0 − 2 3 2 -β = 90∘ ⇒ β = --⋅90∘ = 60∘. 2 3

Udowodniliśmy, że ∘ γ = β = 60 , co oczywiście oznacza, że trójkąt jest równoboczny.

Wersja PDF