/Szkoła średnia/Nierówności/Wymierne/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 3835654

Rozwiąż nierówność

x − 1 1 3 -2-----− ------≥ ------+ 2 . x − 4 2 − x 2 + x
Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną danej nierówności jest zbiór R ∖ {− 2,2 } . Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

-x−--1-− --1---≥ --3---+ 2 x 2 − 4 2− x 2 + x -----x-−-1----- --1--- --3--- (x − 2)(x + 2 ) + x − 2 − x + 2 − 2 ≥ 0 2 −-2x--−-x-+-1-5 (x − 2)(x + 2 ) ≥ 0 / ⋅(− 1 ) 2 -2x--+-x-−-1-5-≤ 0. (x − 2)(x + 2 )

Rozkładamy jeszcze licznik

Δ = 1+ 120 = 1 21 = 112 − 1 − 11 − 1 + 11 5 x = ---------= −3 lub x = ---------= -. 4 4 2

Przy założeniu x ⁄= ± 2 , interesująca nas nierówność jest więc równoważna nierówności

( 5 ) (x + 3) x − -- (x − 2)(x + 2) ≤ 0 . 2

Zaznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu na osi.

PIC

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności

( ] x ∈ [− 3 − 2) ∪ 2, 5 . 2

 
Odpowiedź: ( ] x ∈ [− 3 − 2) ∪ 2, 5 2

Wersja PDF