/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Punkty wspólne z prostą

Zadanie nr 3935719

Dla jakiej wartości m wykres funkcji y = x + m ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o promieniu r , którego środkiem jest początek układu współrzędnych?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Równanie danego okręgu to

2 2 2 x + y = r .

Aby znaleźć punkty wspólne z prostą y = x + m podstawiamy tę wartośc y w równaniu okręgu

2 2 2 x + (x + m ) = r 2 2 2 2x + 2xm + m − r = 0.

Równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie jeżeli Δ ≥ 0 . Liczymy

2 2 2 Δ = 4m − 8m + 8r ≥ 0 m 2 ≤ 2r2 √ -- √ -- − 2r ≤ m ≤ 2r.

 
Odpowiedź: √ -- √ -- m ∈ ⟨− 2r, 2r⟩

Wersja PDF