/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Wpisany w okrąg/Różne

Zadanie nr 5542146

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD , w którym |AB | > |CD | oraz ramię BC ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu R = 5 . Miary kątów BAC i ABC tego trapezu spełniają warunek

sin-|∡BAC--|- 5- sin |∡ABC | = 8.

Oblicz pole i obwód trapezu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – zauważmy, że trapez wpisany w okrąg musi być równoramienny (bo wtedy ∡A = 180∘ − ∡C = ∡B ).

PIC

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o promieniu R = 5 , więc na mocy twierdzenia sinusów mamy

---BC----- = 2R ⇒ sin ∡BAC = BC--= 6--= 3-. sin ∡BAC 2R 10 5

Korzystamy teraz z podanego stosunku sinusów

sin∡BAC--- = 5- ⇒ sin ∡ABC = 8-⋅sin ∡BAC = 8-⋅ 3-= 24-. sin∡ABC 8 5 5 5 25

Teraz ponownie korzystamy z sinusów w trójkącie ABC .

----AC---- 24- 48- sin ∡ABC = 2R ⇒ AC = 2R ⋅ sin ∡ABC = 10⋅ 25 = 5 .

Fakt, że obliczyliśmy sin ∡ABC może wykorzystać do obliczenia wysokości CF trapezu. Patrzymy na trójkąt prostokątny BCF .

CF 24 144 sin ∡ABC = ---- ⇒ CF = BC sin∡ABC = 6 ⋅---= ----. BC 25 25

Stąd

∘ ------------ ∘ ------ ∘ ----------- 2 0736 176 4 42 F B = BC 2 − CF 2 = 36 − ------ = ----- = --- ∘ -------625---- 6∘25----25 ∘ ---2------2- 2304- 2-0736 368-64 192- AF = AC − CF = 25 − 625 = 62 5 = 25 1 92 42 150 DC = EF = AF − AE = AF − FB = ----− ---= ----= 6 25 25 25 192- 4-2 2-34 AB = AF + F B = 25 + 2 5 = 25 .

Pozostało teraz obliczyć obwód i pole trapezu ABCD . Najpierw obwód

AB + DC + 2BC = 234-+ 6 + 12 = 684-. 2 5 2 5

Tera pole

234 P = AB--+-DC--⋅CF = 25-+--6⋅ 144-= 384-⋅ 7-2 = 27-648. ABCD 2 2 2 5 2 5 2 5 6 25

 
Odpowiedź: Obwód: 684 25 , pole: 27648- 625 .

Wersja PDF