Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym podstawa AB ma... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kąty, 5747474

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Kąty

Zadanie nr 5747474

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$ , w którym podstawa $AB$ ma długość 12, a każde z ramion $AC$ i $BC$ ma długość równą 10. Punkt $D$ jest środkiem ramienia $BC$ (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta $α$ , jaki środkowa $AD$ tworzy z ramieniem $AC$ trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość $CE$ i rzut $F$ punktu $D$ na podstawę $AB$ .

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CEB$ i obliczamy długość wysokości $CE$

∘ ----------- ∘ --------- √ --------- √ --- CE = CB 2 − BE 2 = 10 2 − 62 = 100 − 36 = 6 4 = 8.

Prosta $DF$ jest równoległa do $CE$ i przechodzi przez środek $D$ odcinka $CB$ , więc $DF$ jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie $CEB$ . W szczególności

EF = FB = 1EB = 3 2 1- DF = 2CE = 4.

Ponownie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa – tym razem w trójkącie $AF D$ .

∘ ------------ ∘ ------- AD = AF 2 + DF 2 = 92 + 42 = √ 81-+-1-6 = √ 97.

Zauważmy teraz, że trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają podstawy równej długości $BD = DC$ oraz wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ na te podstawy. To oznacza, że mają równe pola. Stąd