/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 5848359

Prosta k o równaniu x + y − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 14x2 − 32x + 14 w punktach A oraz B . Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C . Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów A i B – podstawiamy y = −x + 9 do równania paraboli.

−x + 9 = 1x2 − 3-x+ 1- / ⋅ 2 4 2 4 1 2 35 0 = -x − x − --- 2 2 Δ = 1 + 35 = 36 x = 1 − 6 = −5 lub x = 1 + 6 = 7.

Wtedy y = −x + 9 = 14 i y = −x + 9 = 2 odpowiednio. Zatem A = (7,2 ) , B = (− 5,14) i

 ∘ ---------2-----------2 √ ---------- √ -- AB = (− 5 − 7) + (14 − 2) = 1 44+ 144 = 12 2.

Zajmijmy się teraz styczną równoległą do prostej AB . Musi ona mieć współczynnik kierunkowy − 1 (taki sam jak prosta AB ). Aby sprawdzić w jakim punkcie styczna do danej paraboli ma taki współczynnik kierunkowy liczymy pochodną funkcji kwadratowej, która ją definiuje.

 1 3 y′ = -x − --. 2 2

Sprawdzamy teraz kiedy pochodna jest równa − 1 .

 1 3 1 1 − 1 = -x − -- ⇐ ⇒ -x = -- ⇐ ⇒ x = 1. 2 2 2 2

Wtedy

 1 2 3 1 1 3 1 y = 4x − 2-x+ 4-= 4 − 2-+ 4-= − 1

i C = (1,− 1) . Obliczamy teraz odległość tego punktu od prostej AB (czyli wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C ).

 |1 − 1− 9| 9 h = --√-------- = √---. 1 + 1 2

Obliczamy pole trójkąta ABC .

 1 1 √ -- 9 PABC = --⋅AB ⋅h = -⋅ 12 2⋅ √---= 5 4. 2 2 2

 
Odpowiedź:  √ - d(C ,k) = 9-22 , PABC = 54

Wersja PDF
spinner