Zestaw użytkownika nr 6500_8036

XII Polygon MatematycznyOptymalizacja - planimetriaStyczeń 2020

Zadanie 1

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Zadanie 2

Dany jest okrąg o środku i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku i promieniu oraz drugi o środku i promieniu , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku i promieniu 18;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a ,b,c można obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Zadanie 3

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy i wysokości trapezu jest równa 2.

Wyznacz wszystkie wartości , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
Wykaż, że obwód takiego trapezu, jako funkcja długości dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem
Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Zadanie 4

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego przekątna ma długość 6 dm. Oblicz, jakie jest największe możliwe pole powierzchni tego okna.

Zadanie 5

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Arkusz Wersja PDF