Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6965749

Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach: A(− 4,− 1) , B(− 7,− 5) , C (4,− 7) . Oblicz długość odcinka AD dwusiecznej kąta przy wierzchołku A .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Jeżeli wykonamy dość dokładny rysunek, to możemy zauważyć, że trójkąt ABC wydaje się być prostokątny. Aby sprawdzić, czy tak jest rzeczywiście, liczymy długości jego boków.

AB 2 = (− 7 + 4)2 + (− 5+ 1)2 = 9 + 16 = 2 5 2 2 2 AC = (4 + 4) + (− 7+ 1) = 64 + 36 = 100 BC 2 = (4 + 7)2 + (− 7+ 5)2 = 121 + 4 = 125 = AB 2 + AC 2.

Zatem rzeczywiście, trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym z kątem prostym przy wierzchołku A . W szczególności,

∡BAD = ∡CAD = 45∘ .

Długość dwusiecznej AD obliczymy z twierdzenia sinusów, ale zanim to zrobimy, zauważmy, że

 ∘ ---- ∘ -- AC 100 4 2 sin β = ---- = ----= --= √--- BC ∘ -125 ∘ 5- 5 AB 25 1 1 sinγ = ---- = ----= --= √--. BC 125 5 5

Stosujemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie ABD .

 ∘ √-2 √ --- AD--- = --BD--- ⇒ BD = sin-45- ⋅AD = -2- = --10-⋅AD sinβ sin 45∘ sin β √2- 4 5

Teraz stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie ACD .

AD---= --DC--- sin γ sin 45∘ AD BC − BD -1--= ----√----- √-5 22- √ --- √ --- --10-⋅AD = 5√ 5-− --10-⋅AD / : √ 5- 2 4 3√ 2- 20 10√ 2- -----⋅AD = 5 ⇒ AD = √---= ------. 4 2 3

 
Odpowiedź:  √ - 103-2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!