/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura próbna/CKE, OKE, CEN
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (OKE Poznań)
poziom rozszerzony 11 stycznia 2010 Czas pracy: 180 minut
Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.
Dla każdego wyrazy ciągu
spełniają dwa warunki
i
. Oblicz, które wyrazy tego ciągu są dodatnie.
Liczbę 255 przedstaw jako sumę czterech całkowitych składników będących kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego tak, aby trzeci wyraz był o 45 większy od wyrazu pierwszego.
Różnymi pierwiastkami równania kwadratowego są liczby
oraz
. Narysuj wykres funkcji
.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego krótsza przekątna ma długość , a kąt ostry miarę
. Pole przekroju wyznaczonego przez krawędź boczną graniastosłupa i dłuższą przekątną podstawy wynosi
. Oblicz długość dłuższej przekątnej graniastosłupa, wykonaj rysunek bryły i zaznacz w nim właściwy przekrój.
W czworokącie przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych
w taki sposób, że
. Wiedząc, że
i
, oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt
jest trapezem.
Wykaż, że cosinus kąta przecięcia się wykresów funkcji i
jest równy
.
Oblicz wartość funkcji dla argumentu

Posługując się wykresem funkcji dla
, rozwiąż nierówność
wiedząc, że miara kąta
jest równa mierze łukowej kąta środkowego okręgu opartego na
okręgu.
Liczba uczniów w klasie jest 812 razy mniejsza od liczby utworzonych z nich uporządkowanych trójek. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trzech osób, które (w kolejności losowania) są zapisane w dzienniku pod numerami pierwszym, drugim, i trzecim.