Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7709252

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a . Przekątne sąsiednich ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka są prostopadłe. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Z podanych informacji wiemy, że trójkąt ABC jest prostokątny. Jest on też równoramienny, więc jest to dokładnie połówka kwadratu. Zatem

 √ -- BC = AC 2.

Z drugiej strony, jeżeli połączymy przeciwległe wierzchołki sześciokąta w górnej podstawie, to mamy sześć trójkątów równobocznych i widać, że odcinek BC jest dwa razy dłuższy od wysokości każdego z tych trójkątów równobocznych, czyli

 √ -- BC = a 3.

Mamy zatem

 -- -- √ -- a√ 3 = BC = AC √ 2 ⇒ AC = a√-3-. 2

Teraz z trójkąta prostokątnego CEA wyliczamy wysokość graniastosłupa.

 ∘ --------- √ -- ∘ ------------ 3a2 a 2 H = EC = AC 2 − EA 2 = ----− a2 = ----. 2 2

Możemy teraz policzyć objętość (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

 √ -- √ -- √ -- √ -- a2 3 3a 2 3 a 2 3a3 6 V = 6 ⋅------⋅H = -------⋅ -----= ------. 4 2 2 4

 
Odpowiedź:  - 3a3√6 3 4 cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!