Zadanie nr 8510933

Punkt A = (1,− 3) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , w którym |AC | = |BC | . Punkt S = (5 ,− 1 ) jest środkiem odcinka . Wierzchołek tego trójkąta leży na prostej o równaniu y = x + 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Wiemy, że jest środkiem odcinka , więc łatwo obliczyć współrzędne wierzchołka .

S = A-+-B-- 2 2S = A + B ⇒ B = 2S− A = (10,− 2) − (1,− 3) = (9,1).

Współrzędne punktu wyznaczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy, że punkt leży na prostej y = x + 10 , więc ma współrzędne postaci C = (x,x + 10) . Wiemy też, że trójkąt ABC jest równoramienny, więc

2 2 CA = CB (x− 1)2 + (x+ 10+ 3)2 = (x − 9)2 + (x + 10 − 1)2 2 2 2 2 x − 2x + 1 + x + 26x + 1 69 = x − 18x + 81 + x + 1 8x+ 81 8 1 24x = − 8 ⇒ x = − ---= − -. 24 3

Stąd y = x + 10 = − 13 + 10 = 293 i ( ) C = − 13, 239 .

Sposób II

Punkt jest punktem wspólnym danej prostej y = x+ 10 i symetralnej boku . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x ,y ) 0 0 i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .