/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Zadanie nr 8674154

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez punkt P leżący na zewnątrz okręgu poprowadzono styczną i sieczną do tego okręgu. Styczna przecina ten okrąg w punkcie C , a sieczna w punktach A i B .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że

|PA |⋅|PB | = |P C |2.

(Jest to tzw. twierdzenie o stycznej i siecznej.)

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki AC i BC .

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Na mocy twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną,

∡BCP = ∡PAC .

To oznacza, że trójkąty P CB i PAC mają dwa równe kąty. Są więc podobne i

PC PA P-B-= PC-- 2 P C = PA ⋅P B.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o kącie między cięciwą a styczną, to dorysujmy promienie SB i SC . Jeżeli ∡P CB = α , to

∘ ∡SBC = ∡SCB = 90 − α ∡BSC = 18 0∘ − 2∡SCB = 180∘ − (180 ∘ − 2 α) = 2α.

Teraz korzystamy z zależności między kątem wpisanym i kątem środkowym opartymi na tym samym łuku.

1 ∡BAC = -∡BSC = α . 2

Udowodniliśmy więc, że trójkąty PCB i PAC mają dwa równe kąty. Są więc podobne i

PC--= PA-- P B PC P C2 = PA ⋅P B.

Własność, którą udowodniliśmy warto pamiętać jako graniczny przypadek twierdzenia o siecznych.

Wersja PDF