/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Wymierna/Różne

Zadanie nr 1067787

Funkcja f jest określona wzorem 2x2+4 f(x ) = x2− 3 dla każdej liczby rzeczywistej √ -- x ⁄= ± 3 . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu √ -- x = 5 jest równa
A) √ -- − 10 5 B) √ -- − 5 5 C) √ -- 20 5 D) √ -- 5

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu.

( ) ′ ′ ′ f-(x) = f-(x)g(x)-−-f-(x-)g-(x). g (x) (g(x ))2

Sposób I

Zauważmy, że

2 2 f(x ) = 2x--+-4-= 2(x--−-3)-+-10-= 2+ --10--. x2 − 3 x2 − 3 x2 − 3

Pochodna tej funkcji jest więc równa

( ) ′ --10--- 2 0-⋅(x2-−-3)-−-10(x2-−-3)′ -−-20x---- f (x ) = x2 − 3 = (x2 − 3)2 = (x2 − 3)2.

Podstawiamy teraz w tym wzorze √ -- x = 5 .

√ -- f′(√ 5) = −-20---5 = − 5√ 5. 4

Sposób II

Liczymy pochodną

′ 4x ⋅(x 2 − 3 )− (2x 2 + 4 )⋅2x − 20x f (x) = ------------2-----2----------= --2-----2-. (x − 3) (x − 3)

Pochodną w punkcie liczymy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: B

Wersja PDF