/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Tożsamości

Zadanie nr 7037692

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że

co s2x cosx − sin 4x sin x = co s3x cos2x .

Rozwiązanie

Będziemy korzystali ze wzorów

x + y x − y cos x+ cosy = 2co s------cos ------ 2 2 cos x− cosy = − 2sin x-+-y-sin x-−-y- 2 2

na sumę i różnicę cosinusów.

Sposób I

Próbujemy przekształcić daną równość tak, aby móc skorzystać ze wzoru na różnicę cosinusów. Zauważmy, że w dwóch iloczynach występuje cos2x – to jest nasz punkt zaczepienia.

cos2x co sx − cos 3xco s2x = cos2x (cosx − cos 3x) = ( ) x-−-3x- x+--3x- = cos2x ⋅ − 2sin 2 sin 2 = 2 cos2x sin xsin 2x = = (2sin2x co s2x) sin x = sin 4x sin x.

Sposób II

Korzystamy wprost ze wzorów na sumę i różnicę cosinusów:

cos 2x cosx = cos3x + co sx − sin 4x sinx = cos5x − co s3x cos 3xco s2x = cos5x + co sx.

Mamy zatem

cos 2xco sx − sin4x sin x = cos 3x+ cosx + cos5x − co s3x = = cos x+ cos5x = cos 3xco s2x.
Wersja PDF