Zadanie nr 7393617

Wykaż, że

sin(x + 30∘ )sin(x − 30∘) 1 − 2 cosx ----2x------------2x--------= -----------. cos(2 + 30∘ )cos(2 − 30 ∘) 1 + 2 cosx

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę korzystając ze wzorów na sinus i cosinus sumy/różnicy.

x ∘ x ∘ L = sin(-2 +-30-)sin(2-−-30--) = cos( x2 + 30∘)cos( x2 − 30∘) x ∘ ∘ x x ∘ ∘ x = (sin-2 cos-30-+-sin30--cos-2)(sin-2 cos-30-−-sin-30--cos-2) = (cos x2 co s30∘ − sin 30∘sin x2)(cos x2 co s30∘ + sin3 0∘sin x2) √ -- x x √ -- x x 2 x 2 x = (√-3-sin-2-+-cos-2)(√-3-sin-2-−-co-s2)-= 3sin--2-−-cos--2 = ( 3 cos x2 − sin x2)( 3 cos x2 + sin x2) 3co s2 x2 − sin2 x2 2 x 2 x 2 x = 3(1-−-co-s-2)-−-cos--2-= 3−--4co-s-2-. 3 cos2 x2 − (1 − co s2 x2) 4co s2 x2 − 1

Teraz korzystamy ze wzoru 2 cos2α = 2co s α − 1 .

2 x L = 3-−-4-cos-2-= 3-−-2(co-sx-+-1) = 1−--2cos-x-= P . 4 cos2 x2 − 1 2(co sx + 1) − 1 1+ 2cos x

Sposób II

Korzystamy ze wzorów:

α + β α − β cosα + cosβ = 2cos --2---cos --2--- cosα − cosβ = − 2sin α+--β-sin α-−-β-. 2 2

Mamy zatem

x ∘ x ∘ 1 ∘ L = -sin-(2 +-30-)sin(-2 −-30-) = −-2(cos-x−--cos60--)= co s(x2 + 30∘)co s(x2 + 30∘) 12(cos x+ cos60 ∘) ∘ 1 = co-s60--−-cos-x = 2 −-cosx-= 1-−-2-cosx-= P. co s60∘ + cos x 1+ cosx 1 + 2 cosx 2