/Studia/Analiza/Ciągi/Monotoniczność/Wykładnicze

Zadanie nr 7829265

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Zbadać, czy ciąg 2n+1- an = 3n+1 jest monotoniczny od pewnego miejsca.

Rozwiązanie

Ponieważ n 3 rośnie szybciej niż n 2 , więc należy oczekiwać, że ciąg jest malejący (inna wskazówka to, że jego granicą jest 0). Policzmy iloraz.

2⋅2n+ 1 an+1- 3⋅3n+-1 (3n-+-1)(2-⋅2n-+-1)- an = 2n+-1-= (2n + 1)(3 ⋅3n + 1) 3n+ 1

Chcemy uzasadnić, że jest on od pewnego miejsca mniejszy od 1. Spróbujemy rozwiązać nierówność an+1 -an-< 1

2⋅ 6n + 2⋅2n + 3n + 1 ----------------------< 1 3⋅ 6n + 3⋅3n + 2n + 1 2⋅6n + 2 ⋅2n + 3n + 1 < 3⋅6n + 3 ⋅3n + 2n + 1 n n n 2 < 6 + 2 ⋅3 .

Nierówność ta jest oczywiście spełniona.  
Odpowiedź: Ciąg jest malejący

Wersja PDF