/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Różniczki dwumienne

Zadanie nr 3610352

Oblicz całkę ∫ 4√ --4-5√--21- --2x√5+8-x-dx x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

∘4 --4---5√--21- 4∘ --4----4√5-- ∘4 ----5√--- ( ) 1 ---2x√+----x-- = ---2x-√+-x---x-= ---2√+----x = x −35 2 + x15 4 , 5x8 x 5x3 5x3

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

m n p x (a+ bx ) dx.

W naszej sytuacji mamy

2 m-+--1 = 5-= 2, n 1 5

więc możemy podstawić t4 = 2+ x15 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy Mamy wtedy

1 4 4t3dt = -x −5dx , 5

oraz

∫ 3∘4 ---√---- ∫ 1∘4 ----√--- 4 x− 5 2+ 5 xdx = x5 2+ 5 x ⋅x− 5dx = ∫ ∫ = (t4 − 2)t ⋅20t3dt = 20 (t8 − 2t4)dt = 20t9 − 8t5 + C = 9 20∘4 -----5√----- 4∘ -----√5---- = --- (2+ x)9 − 8 (2 + x)5 + C . 9

 
Odpowiedź: ∘ -----√----- ∘ -----√----- 209 4 (2+ 5 x)9 − 8 4 (2 + 5x)5 + C

Wersja PDF