/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Różniczki dwumienne

Zadanie nr 9881294

Oblicz całkę ∫ 3√3x−x-3 x6 dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

√3-------3 √3-- 2 1 --3x-−--x- = --x-(3−--x-)3 = x −173 (3 − x2)13, x6 x6

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

14 m-+--1 −-3-- 1- 7- 1- n + p = 2 + 3 = − 3 + 3 = −2 ,

więc możemy podstawić t3 = 3−x22 = 3x −2 − 1 x (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

3t2dt = − 6x −3dx 2 −3 t dt = − 2x dx.

Stąd

∫ − 17- 2 1 ∫ − 17 2 − 2 1 x 3 (3 − x )3dx = x 3 (x (3x − 1)) 3dx = ∫ 1 ∫ 1 = x−5(3x −2 − 1)3dx = x −2(3x− 2 − 1)3x− 3dx = ( ) ∫ t3 + 1 1 2 1 ∫ 6 3 = --3---⋅t ⋅ − 2t dt = − 6- (t + t )dt = ∘ ------------ ∘ ------------ 1 1 1 ( 3 ) 7 1 ( 3 ) 4 = − ---t7 − --t4 + C = − ---3 --2 − 1 − ---3 --2 − 1 + C 42 24 42 x 24 x

 
Odpowiedź: ∘ (-------)7 ∘ (------)-4 − -1 3 32 − 1 − -1 3 -32 − 1 + C 42 x 24 x

Wersja PDF