/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z liniowej

Zadanie nr 3623310

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --6√x+-1-- 6√x7+ 4√x5dx .

Rozwiązanie

Podstawiamy 12 t = x .

∫ √6-- || 12 || ∫ 2 √---x-+√1---dx = | t11 = x |= -t-+-1--⋅ 12t11dt = 6x7 + 4x5 |1 2t dt = dx| t14 + t15 ∫ t2 + 1 ∫ t2 + 1 = 12 -3----4dt = 12 3-------dt. t + t t(t + 1)

Szukamy teraz rozkładu na ułamki proste

t2 + 1 A B C D t3(t+--1) = -t + t2 + t3 + t-+-1 --t2-+-1-- A-(t3 +-t2)-+-B-(t2 +-t)-+-C-(t-+-1)-+-Dt-3 t2(t+ 1) = t3(t+ 1) 2 3 2 t + 1 = t (A + D ) + t (A + B )+ t(B + C) + C .

Patrząc na wyrazy wolne mamy C = 1 , skąd B = − 1 , A = 2 oraz D = − 2 . Mamy więc

∫ t2 + 1 ∫ (2 − 1 1 − 2 ) 12 ---------dt = 12 --+ ----+ -- + ----- dt = t2(t+ 1) t t2 t3 t+ 1 12 6 = 24 ln|t|+ t--− t2 − 24 ln |t+ 1| + C = √ -- √ -- = 24 ln 12x + -1√2--− √6--− 24 ln ( 12x + 1) + C = 12x 6 x 12 6 1√2-- = 2 ln x + -1√2--− 6√---− 24 ln ( x + 1 )+ C . x x

 
Odpowiedź: √ -- 2 ln x + -112√2x-− 6√6x-− 24ln( 12 x + 1) + C

Wersja PDF