Zadanie nr 6387468

Oblicz całkę ∫ --dx--- √x− 3√x .

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ

1 1 √3----√--- = --1----1, x − x x 3 − x2

podstawiamy x = t6 .

∫ | 6 | ∫ 5 ∫ 3 | | √--dx-√---= || t = x ||= --6t---dt = -6t--dt = ||s = t − 1||= x − 3x |6t5dt = dx | t3 − t2 t− 1 | ds = dt | ∫ 3 ∫ 3 2 ∫ ( ) = 6(s+--1)-ds = 6 s--+-3s--+-3s-+-1ds = 6 s2 + 3s + 3 + 1- ds = s s s (1 3 ) = 6 --s3 + -s2 + 3s+ ln |s| + C = 2s3 + 9s2 + 1 8s+ 6ln|s|+ C = 3 2 = 2(t− 1)3 + 9(t− 1)2 + 18 (t − 1) + 6 ln |t− 1| + C = √6-- 3 √6-- 2 6√ -- √6-- = 2( x − 1) + 9( x − 1 ) + 18 ( x− 1)+ 6ln| x − 1| + C .

Sposób II

Liczymy podstawiając t6 = x .

| | ∫ ---dx----- | x = t6 | ∫ --6t5-- ∫ --t3- √x--− √3x--= ||dx = 6t5dt|| = t3 − t2dt = 6 t− 1dt = ∫ (t3 −-t2)-+-(t2 −-t)-+-(t−--1)+--1 = 6 t− 1 dt = ∫ ( ) = 6 t2 + t+ 1+ --1-- dt = t− 1 ( 1 1 ) = 6 --t3 + --t2 + t + ln|t− 1| + C = 3 2 = 2t3 + 3t2 + 6t + 6ln |t− 1|+ C = √ -- √3-- √6-- √6-- = 2 x + 3 x + 6 x + 6ln| x − 1| + C .

Odpowiedź: √ -- √3 -- 6√ -- √6 -- 2 x + 3 x+ 6 x+ 6ln | x− 1|+ C