/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 1385056

Oblicz całkę ∫ --x2-- √1−x-2dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ --1--- √1−x2 to dokładnie pochodna arcsin x , możemy spróbować podstawić t = a rcsin x . Mamy wtedy x = sint oraz

∫ | | ∫ ---x2---- ||t = arcsinx || 2 √ -----2dx = ||dt = √-dx---|| = sin tdt. 1− x 1−x2

Teraz korzystamy ze wzoru 2 cos2t = 1 − 2 sin t .

∫ 1 ∫ 1 1 sin2tdt = -- (1 − co s2t)dt = --t− --sin 2t+ C = 2 2 4 1- 1- = 2 arcsin x− 4 sin (2arcsinx )+ C.

Sposób II

Podstawiamy x = sin t , gdzie t ∈ [− π2, π2] . Mamy wtedy

dx = c ostdt t = a rc sin x,

oraz

∫ x2 ∫ sin2 t ∫ sin 2t -----2dx = ∘-------------⋅cos tdt = -----⋅ costdt = 1− x 1− 1sin2 t cos t 1 ∫ 1 1 1 1 = -- (1− cos2t)dt = -t− --sin 2t+ C = -t− --sin tco st = 2 ∘ ----2-- 4 2 2 = 1-arcsin x − 1-x 1 − x 2 + C . 2 2

 
Odpowiedź: 1 1 1 1 √ ------- 2 arcsinx − 4 sin(2 arcsin x) + C = 2 arcsin x − 2x 1− x2 + C

Wersja PDF