/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 4594777

Oblicz całkę ∫ ----dx---- x√x2+4x−-4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Stosujemy I podstawienie Eulera √ -2---------- x + 4x − 4 = x+ t . Mamy wtedy

2 2 2 x + 4x − 4 = x + 2tx + t − t2 − 4 = x(2t − 4) 2 x = − 1-⋅ t-+-4 2 t− 2 1 2t(t − 2) − t2 − 4 1 t2 − 4t− 4 dx = − --⋅------------2-----dt = − --⋅--------2--dt 2 (t− 2) 2 (t− 2) ∘ ------------ 1 t2 + 4 1 t2 − 4t − 4 x2 + 4x − 4 = x + t = − --⋅ ------+ t = -⋅ ----------- 2 t− 2 2 t− 2

Zatem

∫ ∫ 1 t2−-4t−4- ∫ -√----dx------- (-----−-2 ⋅)(t−(2)2-dt---)-- --dt-- x x2 + 4x − 4 = 1 t2+-4 1 t2−4t−4- = 2 t2 + 4 = − 2 ⋅t−2 ⋅ 2 ⋅ t−2 t √x-2-+-4x-−-4-− x = arctg--+ C = a rctg ------------------+ C. 2 2

 
Odpowiedź: √ -------- arctg --x2+4x−4−x-+ C 2

Wersja PDF