/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 5143959

Oblicz całkę ∫ ---dx---- x√x2−2x.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Stosujemy I podstawienie Eulera √ -2------ x − 2x = x+ t . Mamy wtedy

2 2 2 x − 2x = x + 2tx + t − t2 = x(2t+ 2) 2 x = − 1-⋅ -t--- 2 t+ 1 1 2t(t+ 1) − t2 1 t2 + 2t dx = − -⋅ ---------2---dt = − -⋅ -------2dt 2 (t+ 1) 2 (t+ 1 ) ∘ -------- 1 t2 1 t2 + 2t x2 − 2x = x+ t = − --⋅----- + t = --⋅------- 2 t+ 1 2 t + 1

Zatem

∫ ∫ 1 t2+2t- ∫ -√--dx----- (-----−-2 ⋅)(t+(1)2dt---)- dt- 2- x x2 − 2x = 1 -t2- 1 t2+2t- = 2 t2 = − t + C − 2 ⋅t+1 ⋅ 2 ⋅ t+1 2 2(√x--2 −-2x-+ x) = − √-------------+ C = − ----------------- + C = x2 − 2x − x x 2 − 2x − x2 √x-2-−-2x-+ x √x -2 −-2x- = --------------+ C = ---------- + C . x x

 
Odpowiedź: √ ----- --x2−2x + C x

Wersja PDF