/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 5342890

Oblicz całkę ∫ ---dx--- x−√x-2−-1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy

∫ ∫ √ -2----- ∫ ∘ ------- -----d√x-------= x-+---x--−-1dx = (x + x 2 − 1 )dx = x − x2 − 1 x 2 − x 2 + 1 1 x ∘ ------- 1 ∘ ------- = -x2 + -- x2 − 1 − --ln |x + x2 − 1|+ C . 2 2 2

Skorzystaliśmy wyżej ze wzoru

∫ ∘ ------- ∘ ------- ∘ ------- x 2 + kdx = x- x2 + k + k-ln|x + x2 + k|+ C , 2 2

który łatwo wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t lub podstawienie hiperboliczne x = asinh t .  
Odpowiedź: 1 2 x√ -2----- 1 √ -2----- 2x + 2 x − 1− 2 ln |x+ x − 1|+ C

Wersja PDF