/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 7787072

Oblicz całkę ∫ --dx--- √a2−x2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawiamy x = at .

∫ dx || x = at || ∫ dt a ∫ dt √---------= || || = a √-----------= --- √-------= a2 − x2 dx = adt a2 − a2t2 |a| 1− t2 -a- -a- x- x-- = |a| arcsin t+ C = |a| a rcsin a + C = arcsin |a| + C .

Ostatnie przejście było możliwe dzięki temu, że arcsin jest funkcją nieparzystą. Jeżeli ktoś ma wątpliwości, to niech rozważy dwa przypadki: a ≥ 0 i a < 0 .  
Odpowiedź: arcsin -x + C |a|

Wersja PDF