Zadanie nr 8307647

Oblicz całkę ∫ 2x2+-3x+1- √x-2+-1 dx .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, czyli fakt, że jeżeli Wn (x ) jest wielomianem stopnia , to

∫ ∘ ------------- ∫ √--Wn-(x)dx----= Pn−1(x) ax2 + bx + c+ A √-----dx------, ax2 + bx + c ax2 + bx + c

gdzie Pn− 1 jest pewnym wielomianem stopnia n − 1 , a stałą.

Ponieważ licznik w naszej całce ma stopień 2, szukamy takich stałych a,b,A , aby

∫ ∫ 2x-2 +-3x-+-1 ∘ --2---- ----1---- ′ √ -2----- dx = (ax+ b) x + 1 + A √ -2-----dx / () x2 + 1 ∘ ------- x + 1 2x√-+-3x-+-1- 2 (ax√+-b-)(2x) √--A----- x2 + 1 = a x + 1 + 2 x2 + 1 + x2 + 1 .

Mnożymy teraz obie strony przez √ -2----- x + 1 .

2 2 2 2x + 3x + 1 = a(x + 1) + (ax + bx )+ A 2x2 + 3x + 1 = 2ax 2 + bx+ (a+ A) ( |{ 2 = 2a 3 = b |( 1 = a + A .

Mamy więc a = 1,b = 3,A = 0 oraz

∫ 2x2-+-3x-+-1- ∘ -2----- √ -2----- dx = (x + 3) x + 1+ C. x + 1

Odpowiedź: √ --2---- (x + 3) x + 1 + C