/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 8632872

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ ---dx---- √x2+3x+-2 .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru

∫ dx ∘ ------- √--------= ln |x+ x2 + k|+ C, x2 + k

który łatwo jest wyprowadzić stosując podstawienie Eulera √ ------- x2 + k = −x + t . Aby to zrobić sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

| | ∫ dx ∫ dx |t = x + 3| ∫ dx √--2----------= ∘-------------- = ||dt = dx 2|| = ∘--------= x + 3x+ 2 (x + 32)2 − 14 t2 − 14 || ∘ ------|| | | | 2 1| || 3- ∘ --2---------|| = ln ||t+ t − 4||+ C = ln |x+ 2 + x + 3x + 2|+ C .

 
Odpowiedź: | √ -----------| ln ||x+ 3 + x2 + 3x + 2|| + C 2

Wersja PDF