/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 9386048

Oblicz całkę ∫ -------dx-------- x2+x +1+x √x2+x+-1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Stosujemy I podstawienie Eulera √ -2--------- x + x + 1 = −x + t . Mamy wtedy

2 2 2 x + x + 1 = x − 2xt+ t x (1+ 2t) = t2 − 1 2 x = t-−--1 1 + 2t 2t(1 + 2t) − 2(t2 − 1) 2t2 + 2t+ 2 dx = --------------2-------dt = ----------2-dt (1+ 2t) (1+ 2t) ∘ ----------- t2 − 1 t2 + t+ 1 x2 + x+ 1 = −x + t = − ------ + t = ----------. 1 + 2t 1 + 2t

Mamy więc

∫ ∫ 2t2+2t+-2 ------------dx√------------ --------(1+2t)2-dt-------- x2 + x + 1 + x x 2 + x + 1 = (t2+t+1) 2 t2−1 t2+t+1 = -1+-2t- + 1+-2t ⋅-1+-2t ∫ ∫ ∫ ( ) = 2 --------dt-------- = 2 ---dt----= 2 1-− ---2-- dt = t2 + t+ 1 + t2 − 1 t(2|t+ 1) | t 2t + 1 | t | = 2 ln |t| − 2 ln |2t+ 1 |+ C = 2ln ||------||+ C = | √ ----------- | 2t+ 1 || x + x2 + x + 1 || = 2 ln |------√----------------|+ C |2x + 2 x 2 + x + 1 + 1 |

 
Odpowiedź: ||--x+-√x2+x+-1--|| 2 ln |2x+2√x-2+x-+1+ 1|+ C

Wersja PDF