Zadanie nr 9455758

Oblicz całkę ∫ --3x+1--- √x2+6x+-6dx .

Rozwiązanie

Rozbijamy wyrażenie w liczniku na dwie części tak, aby otrzymać pochodną trójmianu, który znajduje się pod pierwiastkiem.

∫ ∫ ∫ √---3x-+-1----dx = 3- √---2x-+-6----dx − √-----8-------. x 2 + 6x + 6 2 x 2 + 6x + 6 x2 + 6x + 6

Pierwszą całkę liczymy podstawiając za trójmian pod pierwiastkiem

| | 3∫ 2x + 6 |t = x2 + 6x + 6 | 3 ∫ dt √ - -- √--2----------dx = ||dt = (2x + 6)dx || = -- √-- = 3 t+ C = 2 ∘ x--+-6x-+-6- 2 t = 3 x2 + 6x + 6 + C .

Drugą całkę policzymy korzystając ze wzoru

∫ ∘ ------- √--dx----= ln |x+ x2 + k|+ C. x2 + k

Liczymy

∫ dx ∫ dx ||x + 3 = t|| − 8 √-------------= − 8 ∘--------------= || || = x 2 + 6x + 6 (x+ 3)2 − 3 dx = dt ∫ dt || ∘ ------|| = − 8 √-2-----= − 8ln|t + t2 − 3|+ C = | t − 3 ∘ ------------| = − 8 ln ||x + 3 + x 2 + 6x + 6||+ C .

Mamy więc

∫ | | -----5x+--2---- ∘ --2--------- | ∘ -2---------| √ 2x2 +-8x-−-1dx = 3 x + 6x + 6− 8ln|x + 3 + x + 6x+ 6|+ C

Odpowiedź: √ ------------ | √ -----------| 3 x2 + 6x + 6 − 8 ln||x + 3 + x2 + 6x + 6|| + C