/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Z kwadratowej/Z ułamka

Zadanie nr 9744666

Oblicz całkę ∫ ----dx---- √3−-4x−-2x2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać z wzoru

∫ dx x √---------= a rcsin ---+ C, a2 − x2 |a|

który łatwo wyprowadzić ze wzoru ∫ √-dx-2 = arcsin x 1−x podstawiając t = ax .

Sprowadzamy trójmian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej.

∫ dx ∫ dx ||√ 2x+ √ 2-= t|| √--------------= ∘-------√------√-----= || √ -- || = 3− 4x− 2x2 5− ( 2x+ 2)2 2dx = dt ∫ √ -- √ -- -1-- ---dt--- -1-- -t-- -1-- --2x-+---2- = √ -- √ -----2 = √ --arcsin √ --+ C = √ --arcsin √ -- + C . 2 5 − t 2 5 2 5

 
Odpowiedź: √ - √- √1-a rcsin --2x√+--2-+ C 2 5

Wersja PDF