/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt

Zadanie nr 5282224

Promień okręgu, przechodzącego przez cztery wierzchołki prostokąta, ma długość 2, a kąt rozwarty między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 1 20∘ . Niech p oznacza pole prostokąta. Wtedy
A) p = 4 B) p = √ 12- C) √ -- p = 4 3 D) p > 7

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że kąt ostry między przekątnymi to ∘ ∘ ∘ 180 − 120 = 6 0 .

PIC

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole czworokąta z przekątnymi.

√ -- P = 1-⋅AC ⋅BD ⋅sin 60∘ = 1-⋅4 ⋅4 ⋅--3-= 4√ 3. ABCD 2 2 2

Sposób II

Przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty o równych polach, zatem pole prostokąta możemy obliczyć korzystając ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

√ -- 1- ∘ --3- √ -- PABCD = 4PBOC = 4 ⋅2 ⋅2 ⋅2sin 60 = 8 ⋅ 2 = 4 3.

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF