Próbna matura 2010 z matematyki, poziom rozszerzony, zestaw 5 (www.zadania.info), Zadania.info: zestaw egzaminacyjny, Zadania.info, 89868

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Matura próbna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura próbna/Zadania.info

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu $S$ . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce $S$ jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.

Zadanie 2

(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji

∘ ------------------- 3 3 3 3 5− x y = --+ -2-+ -3-+ -4 + lo g2x+2 -----. x x x x 6− x

Zadanie 3

(6 pkt)

W trójkącie prostokątnym $ABC$ wysokość $BD$ dzieli przeciwprostokątną $AC$ na odcinki o długościach $|AD | = 3$ i $|DC | = 24$ .

Oblicz długości boków trójkąta $ABC$ .
Oblicz długość odcinka $AE$ , gdzie $E$ jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta $BAC$ i boku $BC$ .

Zadanie 4

(4 pkt)

Dane są dwa nieskończone ciągi $(x ) n$ i $(y ) n$ takie, że dla każdego $n ≥ 1$ , punkt o współrzędnych $(yn + n ,xn)$ jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach $A = (xn ,yn),B = (− 2,1 ),C = (4,− 3)$ . Wyznacz wzory ciągów $(xn)$ i $(yn )$ .

Zadanie 5

(5 pkt)

Prawdopodobieństwa zdarzeń $A$ i $B$ oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: $P (A ∪ B ′) = 0 ,2 3$ i $P(A ′ ∪ B ′) = 0 ,81$ .

Oblicz $P(B )$ .
Wykaż, że jeżeli $P(A ) < 0,21$ to $′ ′ P(A ∩ B ) > 0,02$ .

Zadanie 6

(5 pkt)

Wykaż, że równanie $x5 + 8x2 + x + 1 = 0$ nie ma rozwiązań w przedziale $⟨− 1,1⟩$ .
Wykaż, że równanie $sinx cos4x − 2sinx cos2 x− 8cos2 x+ 2sin x+ 9 = 0$
nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 7

(5 pkt)

Środki okręgów $o1$ i $o2$ znajdują się po różnych stronach prostej $y = − 3x+ 2$ , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu $o2$ jest równy $√ -- 7 2$ oraz, że okrąg $o 1$ ma równanie $2 2 (x + 1) + (y − 3) = 20$ , wyznacz równanie okręgu $o2$ .

Zadanie 8

(5 pkt)

Proste $k,l,m$ są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór $S$ składający się z $3n$ punktów ( $n ≥ 3$ ), przy czym na każdej z prostych wybrano $n$ punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru $S$ leżą na jednej prostej, to prostą tą jest $k ,l$ lub $m$ . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru $S$ .

Zadanie 9

(6 pkt)

Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego $ABCS$ o wierzchołku $S$ mają długość $∘ ----√--- 2+ 3$ . Wiedząc, że $√ -- |∡ASB | = 30∘,|BC | = 3,|AC | = 2$ oblicz objętość tego ostrosłupa.