Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut
Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce
jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.
Wyznacz dziedzinę funkcji
W trójkącie prostokątnym wysokość
dzieli przeciwprostokątną
na odcinki o długościach
i
.
Dane są dwa nieskończone ciągi i
takie, że dla każdego
, punkt o współrzędnych
jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach
. Wyznacz wzory ciągów
i
.
Prawdopodobieństwa zdarzeń i
oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki:
i
.
nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Środki okręgów i
znajdują się po różnych stronach prostej
, która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu
jest równy
oraz, że okrąg
ma równanie
, wyznacz równanie okręgu
.
Proste są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór
składający się z
punktów (
), przy czym na każdej z prostych wybrano
punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru
leżą na jednej prostej, to prostą tą jest
lub
. Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru
.
Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego o wierzchołku
mają długość
. Wiedząc, że
oblicz objętość tego ostrosłupa.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jeden z pierwiastków równania
jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.