/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 4078858

Oblicz całkę ∫ ---x----- 2x2− 3x−2dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozkładamy mianownik na czynniki

2 2x − 3x − 2 = 0 Δ = 9 + 1 6 = 25 3 − 5 1 3 + 5 x = ------= − -- ∨ x = ------= 2. 4 2 4

Szukamy zatem rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:

x x A B --2----------= --------------1- = ------+ ----1-. 2x − 3x − 2 2(x − 2 )(x + 2) x − 2 x + 2

Mnożąc obie strony przez 1 2(x− 2)(x + 2) mamy

x = A (2x + 1) + B (2x− 4) = (2A + 2B)x + (A − 4B ),

co daje układ równań

{ A + B = 12 A − 4B = 0.

Odejmując od pierwszego równania drugie otrzymujemy 1 B = 10 . Stąd 2 A = 5 oraz

∫ ∫ ∫ ------x------dx = 2- --dx--+ 1-- -dx---= 2x 2 − 3x− 2 5 x − 2 10 x+ 12 2 1 || 1 || = --ln |x − 2|+ ---ln ||x + --||+ C . 5 10 2

 
Odpowiedź: | | 25 ln |x − 2|+ 110 ln ||x + 12||+ C

Wersja PDF