/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 5009596

Oblicz całkę ∫ ---1---- 2x2+x +1dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zwiniemy mianownik do pełnego kwadratu (postać kanoniczna) i skorzystamy ze wzoru

∫ -----dx----- = √1--arctg x√+-a-+ C, dla k > 0. (x + a)2 + b b b
∫ ∫ ∫ ----dx------= ------dx------dx = 1- ------dx------= 2x2 + x + 1 2(x 2 + x+ 1) 2 (x + 1)2 + 7- 1 2 2 4 16 1- ∘-1--- x∘-+-4- √2-- 4x√-+-1- = 2 ⋅ 7-arctg 7- + C = 7 arctg 7 + C . 16 16

Sposób II

Całkę mogliśmy też policzyć wprost.

∫ dx ∫ dx 1 ∫ dx --2---------= --------x---1-dx = -- ------1-----7-= 2x + x + 1 2(x 2 + 2 + 2) 2 (x + 4)2 + 16 ∫ || 4x√+1-|| ∫ √7- = 1- -------dx------- = ||√t = 7 || = 1- ---4-dt---= 2 716((4x√+1)2 + 1) |-7dt = dx| 2 716(t2 + 1) ∫ 7 4 √2-- --dt-- √2-- √2-- 4x√+-1- = 7 t2 + 1 = 7 arctg t+ C = 7 a rctg 7 + C .

 
Odpowiedź: √2-arctg 4x√+1-+ C 7 7

Wersja PDF