/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 6157583

Oblicz całkę ∫ ---1--- x2−x +3dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zwiniemy mianownik do pełnego kwadratu (postać kanoniczna) i skorzystamy ze wzoru

∫ -----dx----- = √1--arctg x√+-a-+ C, dla k > 0. (x + a)2 + b b b
∫ ∫ ----dx-----= -----dx-------= x2 − x + 3 (x− 1)2 + 11 1 2 4 ∘1--- x∘+--2 √2--- 2x√-−-1- = 11 arctg 11 + C = 11 arctg 11 + C. 4 4

Sposób II

Całkę mogliśmy też policzyć wprost.

∫ dx ∫ dx --2--------= -----1-----11-= x − x + 3 (x− 2)2 + 4- ∫ || t = 2√x−1- || ∫ √11- = -------dx------- = ||√ -- 11 ||= ----2-dt-- = 114 ((2x√−-1)2 + 1) |--11dt = dx | 114-(t2 + 1) ∫ 11 2 √2--- --dt-- √2--- √2--- 2x√-−-1- = 11 t2 + 1 = 11 arctg t+ C = 11 arctg 11 + C.

 
Odpowiedź: √2-a rctg 2√x−1-+ C 11 11

Wersja PDF