/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 6206611

Oblicz całkę ∫ --2x+6--- 2x2+ 3x+1dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozkładamy mianownik na czynniki

2 2x + 3x + 1 = 0 Δ = 9− 8 = 1 − 3 − 1 − 3+ 1 1 x = ------- = − 1 ∨ x = ------- = − --. 4 4 2

Szukamy zatem rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste postaci:

2x + 6 2x + 6 A B --2----------= --------------1- = ------+ ----1-. 2x + 3x + 1 2(x + 1 )(x + 2) x + 1 x + 2

Mnożąc obie strony przez 1 2(x+ 1)(x + 2) mamy

2x + 6 = A(2x + 1)+ B(2x + 2) = (2A + 2B )x + (A + 2B),

co daje układ równań

{ A + B = 1 A + 2B = 6.

Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymujemy B = 5 . Stąd A = − 4 oraz

∫ ∫ ∫ ----2x+--6---dx = − 4 -dx---+ 5 --dx-- = 2x 2 + 3x+ 1 x + 1 x + 1 || 2 || = − 4ln |x + 1 |+ 5 ln |x+ 1| + C . | 2|

 
Odpowiedź: | | − 4ln |x+ 1|+ 5 ln ||x + 1|| + C 2

Wersja PDF