/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 6928929

Oblicz całkę ∫ -2x+-1-- x2+ 2x+2dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Całkę rozbijamy na dwie całki tak, aby w jednej licznik był pochodną mianownika, a w drugiej, żeby nie było x w liczniku.

∫ ∫ ∫ --2x-+-1---dx = --2x-+-2---dx − -----1------dx = A − B. x2 + 2x+ 2 x2 + 2x+ 2 x2 + 2x + 2

Liczymy teraz te prostsze całki A i B .

∫ | | ---2x+--2--- ||t = x 2 + 2x + 2|| A = x2 + 2x + 2 dx = |dt = 2x + 2dx | = ∫ = 1dt = ln |t| + C = ln (x2 + 2x + 2) + C t | | ∫ 1 ∫ 1 |t = x + 1| B = -2----------dx = -------2----dx = || dt = dx || = ∫ x + 2x + 2 (x + 1) + 1 --1--- = t2 + 1dt = arctg t+ C = arctg(x + 1) + C .

Zatem

∫ 2x + 1 --2---------dx = A − B = ln(x2 + 2x + 2) − arctg(x + 1) + C . x + 2x + 2

 
Odpowiedź: ln(x 2 + 2x + 2)− arctg (x+ 1)+ C

Wersja PDF