/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Wymierne/Mianownik stopnia 2

Zadanie nr 7573629

Oblicz całkę ∫ -3x−-2-- x2+ 6x+9dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

2 2 x + 6x + 9 = (x + 3) ,

zatem szukamy rozkładu na ułamki proste postaci

3x − 2 a b ------------= ------+ ---------. x2 + 6x + 9 x + 3 (x + 3 )2

Mnożąc obie strony przez (x+ 3)2 mamy

3x− 2 = a(x + 3) + b = ax + (3a+ b).

Zatem a = 3 i b = −1 1 oraz

∫ ∫ ∫ --3x-−-2---dx = --3--dx − ---11---dx = 3 ln |x+ 3|+ -11--+ C. x2 + 6x + 9 x+ 3 (x + 3)2 x+ 3

 
Odpowiedź: 11 3 ln |x + 3|+ x+3-+ C

Wersja PDF